Trovare il limite di un integrale: $ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx $

Parisina 07/31/2017. 3 answers, 492 views
integration analysis limits continuity uniform-convergence

Supponiamo $ f: [a, b] \ to \ mathbb {R} $ è continuo. Determina se esiste il seguente limite

$$ \ lim_ {n \ a \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx. $$

Come $ f (x) $ e $ \ sin ^ 3 {(nx)} $ sono continui, quindi il loro prodotto è Riemann integrabile. Tuttavia $ \ lim_ {n \ to \ infty} f (x) \ sin ^ 3 {(nx)} $ non esiste, quindi non è uniformemente convergenza e non possiamo superare il limite all'interno dell'integrale. Inoltre, non soddisfa le condizioni del Teorema di Dini. Non so come fare un argomento valido per questo problema, ma penso da ciò che ho detto che il limite non esiste. Apprezzo qualsiasi aiuto.

3 Answers


Robert Israel 07/31/2017.

Lemma di Riemann-Lebesgue . Si noti che $ \ sin ^ 3 (nx) = \ frac {3} {4} \ sin (nx) - \ frac {1} {4} \ sin (3nx) $.

2 comments
Parisina 07/31/2017
Grazie, penso, posso completarlo ora
Teepeemm 07/31/2017
Sembra essere più avanzato di quello che il problema richiede.

Sangchul Lee 07/31/2017.

Un modo leggermente diverso di risolverlo è usare la seguente osservazione.

Proposition. Se $ f: [a, b] \ to \ mathbb {R} $ è continuo, $ g: \ mathbb {R} \ a \ mathbb {R} $ è continuo e $ L -periodico, quindi

$$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx = \ left (\ int_ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ right) \ left (\ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ right). $$

  1. Assumendo questa affermazione, la risposta segue immediatamente poiché $ x \ mapsto \ sin ^ 3 x $ è $ 2 \ pi $ -periodica e

    $$ \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ sin ^ 3 x \, dx = 0. $$

  2. L'intuizione è molto chiara: se $ n $ è molto grande, quindi sul sottointervento $ [c, c + \ frac {L} {n}] \ sottoinsieme [a, b] $ che abbiamo

    $$ \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} {n}} f (x) g (nx) \, dx \ approx f (c) \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} { n}} g (nx) \, dx = f (c) \ cdot \ frac {1} {n} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx. $$

    Quindi ignorando i dettagli, avremmo

    $$ \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx \ approx \ left (\ sum_ {k = 1} ^ {\ lfloor n (ba) / L \ rfloor} f \ left (a + \ frac {kL} {n} \ right) \ frac {1} {n} \ right) \ left (\ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ right) $$

    e prendendo il limite di $ n \ a \ infty $, il lato destro converge al valore desiderato. Riempire i dettagli è abbastanza normale.

  3. L'assunto sulla continuità è solo un'impostazione tecnica per una dimostrazione semplice, e puoi rilassarli a un certo livello pagando uno sforzo maggiore.


Michael Hartley 07/31/2017.

Non puoi concludere $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_a ^ bg (x, n) dx $$ non esiste solo perché $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} g (x, n ) $$ no. Ad esempio, $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sin (nx) $$ non esiste, ma $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ \ pi \ sin (nx) dx = 0, $$ poiché l'integrale è zero per tutti $ n $.

Temo che la mia utilità scada a questo punto, anche se penso che il limite esista: dovresti, se non altro, riuscire a trovare qualche argomento epsilon-delta che esprima l'integrale come la somma di un gruppo di integrali su intervalli di lunghezza $ \ frac {2 \ pi} {n} $. Questo potrebbe essere un pessimo modo di affrontare il problema.

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