Funzioni che sono sempre inferiori ai loro derivati

Mike Brown 08/20/2017. 12 answers, 3.142 views
calculus integration differential-equations derivatives inequality

Mi chiedevo se ci sono funzioni per le quali $$ f '(x)> f (x) $$ per tutti $ x $. Solo gli esempi che ho potuto pensare erano $ e ^ x - c $ e semplicemente $ - c $ in cui $ c> 0 $. Inoltre, c'è un significato in una funzione che è sempre inferiore alla sua derivata?


Edit: Grazie mille per tutte le risposte. Sembra che quasi tutte le funzioni applicabili siano esponenziali per natura ... Ci sono altri esempi come - 1 / x?

Di nuovo ci sono delle applicazioni / manifestazioni fisiche di queste funzioni? [per esempio un oggetto con una velocità che è sempre maggiore della sua posizione / accelerazione è sempre maggiore della sua velocità]

3 Comments
1 BallpointBen 07/28/2017
Dalla cima della mia testa, ogni funzione limitata e monotonicamente crescente nel mezzo piano inferiore.
1 Robin Saunders 07/29/2017
La risposta di Ixion fornisce la soluzione completa e generale (sebbene alcune famiglie particolari di soluzioni potrebbero essere modificabili in forme più belle) e dovrebbe essere accettata.
Hamsteriffic 07/30/2017
+1! Ma per favore aggiusta il titolo, cambiando "suo" in "loro". Il modo in cui il titolo è scritto, per un momento sembrava che stessero considerando derivati ​​di tutti gli ordini. E ora sono curioso di questa domanda laterale, haha!

12 Answers


Ixion 07/29/2017.

Se $ y '(x)> y (x) \ quad \ per tutti x \ in \ mathbb {R} $, possiamo definire $ f (x) = y' (x) -y (x) $ che è positivo per tutti $ x $. Supponiamo che $ y '(x) $ sia una funzione continua in modo che $ f (x) $ sia anch'esso continuo. Ora con questo elemento possiamo costruire l'equazione differenziale $$ y '(x) = y (x) + f (x) $$ e le sue soluzioni sono date da: $$ y (x) = e ^ {x} \ left (c + \ int_ {x_0} ^ {x} e ^ {- s} F (s) ds \ right) $$

Di nuovo ci sono delle applicazioni / manifestazioni fisiche di queste funzioni? [per esempio un oggetto con una velocità che è sempre maggiore della sua posizione / accelerazione è sempre maggiore della sua velocità]

Non so se c'è un'applicazione di questa proprietà interessante, ma sono sicuro che non è possibile confrontare la velocità con la posizione perché non sono quantità omogenee.


Aidan Connelly 07/29/2017.

Supponendo $ f (x)> 0 $, $ f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R} $

$ f '(x)> f (x) \ iff \ frac {d} {dx} \ ln (f (x))> 1 $

Quindi puoi trasformare qualsiasi funzione $ g $ dove $ g '(x)> 1 $ in questo tipo di funzione prendendo l'esponenziale di esso:

$ \ frac {d} {dx} g (x)> 1 \ implies \ frac {d} {dx} \ ln (e ^ {g (x)})> 1 \ implies \ frac {d} {dx} e ^ {g (x)}> e ^ {g (x)} $

5 comments
6 Hagen von Eitzen 07/28/2017
Si presuppone $ f (x)> 0 $ all'inizio
2 MPW 07/28/2017
@HagenvonEitzen: Quindi poteva usare $ \ hat {f} (x) \ equiv e ^ {f (x)} $ come punto di partenza per ogni dato $ f $. In questo modo si ha sempre $ \ hat {f} (x)> 0 $.
Robin Saunders 07/29/2017
La risposta di Ixion dà la piena generalizzazione consentendo a $ \ frac {df} {dx} - f (x) $ di essere qualsiasi funzione che sia ovunque-positiva.
Adayah 07/29/2017
@RobinSaunders No, ipotizza la continuità di $ f '(x) $.
Robin Saunders 07/29/2017
Sono abbastanza sicuro che la condizione non sia effettivamente necessaria.

Peter 07/28/2017.

Un semplice esempio è $ f (x) = - x ^ 2-3 $


dromastyx 07/28/2017.

Un problema più interessante è trovare una funzione $ f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} $, la cui immagine è $ \ mathbb {R} $ e soddisfa $ f '(x)> f (x) $ per tutti $ x \ in \ mathbb {R} $. Una di queste funzioni è

$$ \ sinh (x), $$

perché

$$ \ frac {d} {dx} \ sinh (x) = \ cosh (x)> \ sinh (x) $$ per tutti $ x \ in \ mathbb {R} $.


M. Winter 07/28/2017.

Prendi $ f (x) = e ^ {\ alpha x} $. Quindi per $ \ alpha> 1 $ abbiamo $ f '(x)> f (x) $ e per $ \ alpha <1 $ abbiamo $ f' (x) <f (x) $.


steven gregory 07/28/2017.

Che ne dici se si guarda come un'equazione differenziale. Dire

$ y '= y + 1 $

che ha una soluzione $ y = Ce ^ x -1 $

Oppure $ y '= y + x ^ 2 + 1 $

che ha una soluzione $ y = Ce ^ x - (x ^ 2 + 2x + 3) $

Oppure $ y '= y + 2 \ sin x + 3 $

che ha soluzione $ y = Ce ^ x - \ sin x - \ cos x -3 $

3 comments
Robin Saunders 07/29/2017
La risposta di Ixion generalizza questo a $ y '(x) = y (x) + f (x) $ per ogni $ f (x)> 0 $.
steven gregory 07/29/2017
@RobinSaunders - dovrei cancellare la mia risposta?
Robin Saunders 07/30/2017
Non so molto dell'etichetta di Stack Exchange, ma la mia ipotesi sarebbe che dato che hai postato la tua risposta per prima e contiene esempi specifici non nell'altra risposta, dovrebbe andar bene.

Eric Towers 07/30/2017.

Un esempio very semplice è $ f (x) = -1 <0 = f '(x) $. Rilevante per la tua modifica: non è affatto esponenziale.

Altri esempi che non sono immediatamente esponenziali:

  • $ \ frac {- \ pi} {2} + \ arctan x $ è dappertutto negativo e dappertutto strettamente monotonicamente crescente, quindi è ovunque meno della sua derivata.
  • $ -1 + \ mathrm {erf} (x) $ è anche dappertutto negativo e dappertutto strettamente monotonicamente crescente. (Sono molto simili, poiché sono copie spostate dei CDF delle distribuzioni di Cauchy e Gauss (standard / normalizzate).)
  • $ \ frac {1} {2} \ left (x - \ sqrt {x ^ 2 + 4} \ right) $ è il ramo inferiore di un'iperbole che ha $ x $ -axis e la riga $ y = x $ as asintoti. È dappertutto negativo e dappertutto strettamente monotonicamente crescente.

Thiago Nascimento 07/28/2017.

Vedi, $ - \ frac {1} {x}, \ frac {1} {x ^ {2}} \ in \ [0, \ infty] $

1 comments
7 GEdgar 07/28/2017
Più in generale, qualsiasi funzione negativa con derivata positiva ...

Joshua Kidd 07/28/2017.

Un altro semplice esempio sarebbe $ f (x) = -e ^ {- x} $, $ f '(x) = e ^ {- x} $


Adayah 07/29/2017.

La disuguaglianza $$ f '(x)> f (x) $$ è equivalente a $$ \ left [f (x) e ^ {- x} \ right]'> 0. $$

Quindi la soluzione generale è prendere qualsiasi funzione differenziabile $ g (x) $ con $ g '(x)> 0 $ e mettere $ f (x) = g (x) e ^ x $.

Si noti che non si assume nulla di $ f $ tranne la differenziabilità, che è necessaria per porre la domanda in primo luogo.


HelloGoodbye 07/30/2017.

Per qualsiasi funzione differenziale $ f $ per la quale sia $ f (x) $ che $ f '(x) $ sono limitati a intervalli finiti, $ f' (x) - f (x) $ è anche limitato a un intervallo finito, quindi c'è $ c $ per cui $ f '(x) - f (x)> -c \ \ forall \ x $. Pertanto, una funzione $ g (x) = f (x) - c $ può essere formata per cui $ g '(x) - g (x) - c> -c \ \ forall \ x $ o $ g' (x )> g (x) \ \ per tutto \ x $.

Ad esempio, ciò vale per molte funzioni periodiche differenziali.

5 comments
1 Adayah 07/29/2017
L'ultima affermazione è errata, poiché non tutte le funzioni periodiche differenziabili hanno una derivata limitata.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Hai ragione. Stavo considerando le funzioni periodiche che erano differenziabili in ogni punto di $ \ mathbb {R} $, ma mi rendo conto che una funzione deve essere differenziabile in tutti i punti del suo dominio per essere considerata differenziabile. Ho aggiornato la mia risposta.
Adayah 07/30/2017
Voglio dire, una funzione $ f: \ mathbb {R} \ a \ mathbb {R} $ può essere periodica e differenziabile in ogni punto $ a \ in \ mathbb {R} $ e avere ancora una derivata illimitata.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Hai qualche esempio di tale funzione?
HelloGoodbye 07/30/2017
Voglio dire, se una funzione $ f $ è differenziabile ovunque, la sua derivata $ f '$ deve esistere ovunque, e $ f' $ deve essere continua (perché se contiene una discontinuità, $ f '$ non può esistere in quel punto ). Ciò rende impossibile che $ f '$ sia illimitato, giusto?

Henk Koppelaar 08/02/2017.

Mike una risposta alla tua domanda aggiuntiva "Ci sono esempi fisici di questo?" è abilitato da dromastyx.

Il suo esempio mostra funzioni iperboliche che descrivono accuratamente il fenomeno fisico dei "solitoni".

I solitoni sono onde solitarie come bagliori del sole, tsunami ecc. Un esempio di trovare tali onde nascoste nelle equazioni note è:

http://rsos.royalsocietypublishing.org/content/2/7/140406.review-history

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