La maggior parte dei matematici conosce la maggior parte degli argomenti in matematica?

Sid Caroline 08/21/2017. 8 answers, 12.112 views
soft-question

Quanti argomenti al di fuori della sua specializzazione sono familiari a un matematico medio?

Ad esempio, un teorico di gruppo medio conosce abbastanza equazioni alle derivate parziali per superare un test in un corso PDE a livello di laurea?

Inoltre, quali sono gli argomenti "da conoscere" per ogni aspirante matematico? Perché?

Come studente laureato, dovrei concentrarmi maggiormente sull'ampiezza (scegliendo una vasta gamma di classi relativamente indipendenti dal punto di vista delle coppie, ad esempio, teoria dei gruppi e PDE) o profondità (ad esempio, teoria delle misure e analisi funzionale)?

5 Comments
5 Mattos 07/27/2017
Proprio per quello che sai, la teoria dei gruppi is utilizzata nello studio delle equazioni alle derivate parziali, principalmente per sfruttare le simmetrie che potrebbe avere una PDE.
53 Cauchy 07/27/2017
No, un teorico di gruppo medio otterrà un grasso $ 0 $ in un corso PDE di livello universitario ( might aver studiato PDE a un certo punto, ma ha sicuramente dimenticato tutto).
23 Cauchy 07/27/2017
In generale, tuttavia, la maggior parte dei matematici ha un po 'di esposizione a un'ampia varietà di argomenti, così che se hanno bisogno di un certo strumento da qualche altro ramo possono (relativamente) rapidamente rispolverare il materiale e leggere la letteratura pertinente.
1 owjburnham 07/27/2017
Sospetto che questo potrebbe essere specifico per paese e quindi vale la pena di essere taggato? Io (nel Regno Unito) non ho mai dovuto sostenere un singolo test come studente laureato (grazie al cielo).
6 Robin Saunders 07/29/2017
@Myles, ho sentito più spesso ciò che ho detto di Poincaré.

8 Answers


P. Siehr 07/27/2017.

La tua domanda è filosofica piuttosto che matematica.

Una mia collega mi ha raccontato la seguente metafora / illustrazione una volta quando ero uno studente di bachelor e ha fatto il suo dottorato di ricerca. E da allora sono passati alcuni anni che posso riguardare.

È difficile da scrivere. Pensa a disegnare un enorme cerchio nell'aria, a zummare, e poi a disegnare di nuovo un enorme cerchio.

Questa è tutta la conoscenza:

[--------------------------------------------] 

Tutta la conoscenza contiene molto, e la matematica è solo una piccola parte in essa - segnata con la croce:

[---------------------------------------x----]
                                        |
Zooming in:
[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx] 

La ricerca matematica è divisa in molti argomenti. Algebra, teoria dei numeri e molti altri, ma anche matematica numerica. Questa è questa piccola parte qui:

[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxoxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx]
                    |                    
Zooming in:
[oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo] 

La matematica numerica è divisa in diversi argomenti, come la numerazione ODE, l'ottimizzazione ecc. E uno di questi è FEM-Theory per PDE.

[oooooooooooooooooooρoooooooooooooooooooooooo]
                    | 

E questa è la parte della conoscenza, in cui mi sento a mio agio nel dire "Conosco un po 'di più della maggior parte delle altre persone nel mondo".
Ora, dopo alcuni anni, estenderei l'illustrazione di un altro passo: le mie conoscenze in quella parte sembrano piuttosto simili

[   ρ    ρρ  ρ         ρ   ρ          ρ     ρ] 

Ne so ancora solo "un po '", in gran parte non lo so, e la maggior parte di ciò che avevo imparato è già stata dimenticata.

(In realtà la FEM-Theory è ancora un argomento enorme, che contiene ad esempio diversi tipi di PDE [ellittiche, paraboliche, iperboliche, altre]. Quindi potresti fare lo "zoom" molte volte di più).


Un'altra piccola saggezza è: qualcuno che ha finito la scuola pensa di sapere tutto. Una volta conseguito il master, sa di non sapere nulla. E dopo il dottorato sa che tutti intorno a lui non sanno nulla.


Chiedendo il tuo focus: IMO usa i primi anni per esplorare argomenti in matematica per scoprire cosa ti piace. Poi vai più a fondo - se hai trovato quello che ti piace.

Ci sono argomenti "da conoscere"? Ci sono delle basi che impari nei primi termini. Senza di loro è difficile "parlare" e "fare" matematica. Imparerai gli strumenti di cui hai bisogno per scavare più a fondo. Dopo sentiti libero di goderti la matematica :)
Se il tuo obiettivo di ricerca è ad esempio sui numeri PDE (come il mio) ma ti piace anche la matematica pura - vai avanti e prendi una lezione. Ti aiuterà? Forse sì forse no. Ma di sicuro ti sei divertito ad acquisire conoscenze, e questo è ciò che conta.

Non pensare troppo a quali lezioni partecipare. Tutto andrà bene. Penso che la maggior parte dei matematici sarà d'accordo con questa affermazione.

4 comments
46 Eff 07/27/2017
Questo è simile alla The Illustrated Guide to a Ph.D. .
10 Mars 07/30/2017
Per la cronaca, io sono un filosofo professionista (Ph.D. in filosofia, lavoro come professore, tutto il resto). Soo ... secondo la mia opinione professionale, questa domanda non è filosofica. È empirico. OP chiede generalizzazioni empiriche sui matematici. Il suggerimento di P. Siehr è che la domanda è formulata in modo impreciso o si basa su ipotesi errate. Ciò non rende la domanda o le sue possibili risposte filosofiche. (per quanto mi riguarda non sono d'accordo con P. Siehr che la domanda come affermata non possa essere risolta, e le mie osservazioni non sono intese come supporto per i commenti di amWhy.)
3 Joonas Ilmavirta 08/01/2017
@Mars Va notato che "filosofico" in un contesto matematico di solito non si riferisce al campo della filosofia, ma a quasi ogni pensiero matematicamente rilevante o ispirato al di fuori della matematica rigorosa e formale. (Spero che i matematici che usano la parola lo riconoscano!) Sono d'accordo sul fatto che la questione non sia filosofica nel vero senso della parola, ma penso che sia filosofica nel senso utilizzato da molti matematici.
Mars 08/09/2017
Ah, è interessante @JoonasIlmavirta. Grazie.

Georges Elencwajg 07/27/2017.

La risposta alla tua domanda è facile:
No, un matematico medio specializzato nella geometria algebrica, ad esempio, non poteva passare without preparation un esame di livello universitario su equazioni alle derivate parziali.
Aspetta, è peggio: non è nemmeno riuscito a superare un esame di livello universitario sulle equazioni alle derivate parziali.
Aspetta, è anche peggio: non è riuscito a superare un esame in algebraic geometry su un argomento specializzato diverso dal suo. Per esempio un esame elementare sulla classificazione delle singolarità se è specializzato in schemi di Hilbert.
Al contrario, sarei molto sorpreso se un famigerato analista che di recente ha ottenuto una medaglia Fields potesse risolvere gli esercizi di, ad esempio, il capitolo 5 di Fulton's Algebraic Curves , l'introduzione standard alla geometria algebrica universitaria.

Some remarks
1) Quello che ho scritto è facile da confermare in privato ma impossibile da dimostrare in pubblico:
Non posso scrivere molto bene che in una recente conversazione XXX, un rispettato probabilista, ha abbondantemente dimostrato di non avere idea di quale sia il gruppo fondamentale del circolo.

2) Se l'autore YYY ha scritto un articolo sulle equazioni differenziali alle derivate parziali usando tecniche del gruppo amminabile, ciò non implica che altri specialisti nel suo campo conoscano una teoria di gruppo.
Non dimostra nemmeno che YYY sapeva molto della teoria dei gruppi: potrebbe aver capito che la teoria dei gruppi era coinvolta nella sua ricerca e intervistato un teorico di gruppo che gli avrebbe parlato di gruppi disponibili.

3) Sul lato positivo alcuni matematici molto eccezionali sembrano conoscere molto di quasi ogni argomento della matematica: Atiyah, Deligne, Serre, Tao vengono in mente.
La mia triste congettura è che il loro numero è una funzione tendente a zero con il passare del tempo.
E anche se non ho potuto fare un esame di analisi, sono consapevole di cosa significhi per una funzione $ \ mathbb N $ -valuta ...

5 comments
11 Alfred Yerger 07/27/2017
Abbiamo alcune persone nel mio dipartimento che, per lo meno, possono commentare un'ampia varietà di sottocampi all'interno di un'ampia disciplina. Vengono in mente diversi geometri che hanno qualcosa di intelligente da dire su molte aree della geometria. Forse non è possibile sapere tutto. Ma si spera che sia ancora possibile conoscere molte cose su molte cose. Penso che sia probabilmente abbastanza buono, dato che ora ci sono molte altre cose da sapere!
1 Santropedro 07/28/2017
Georges, quando dici "Al contrario, sarei molto sorpreso se un famigerato analista che di recente ha ottenuto una medaglia Fields potesse risolvere gli esercizi del, diciamo, capitolo 5 delle Algebraic Curves di Fulton, l'introduzione standard alla geometria algebrica universitaria." quanto tempo è concesso per pensare ad ogni esercizio? Se diamo loro abbastanza tempo per leggere il libro e fare pratica, abbastanza sicuro per me li risolverebbe. Non sono autorizzati a leggere il libro e devono risolverli sul posto, in quanto tempo?
8 Georges Elencwajg 07/28/2017
Caro @ Santropedro, naturalmente se quel geniale analista è stato dato una settimana o due, ha potuto leggere il libro e poi risolvere i suoi esercizi. Il punto che volevo fare era che probabilmente non avrebbe potuto risolverli con quello che sa ora.
2 Michael Kay 07/28/2017
Alcuni anni fa ho pensato che sarebbe stato divertente provare ad affrontare un documento di matematica GCSE (per bambini di 16 anni) che mia figlia aveva portato a casa. A quell'età avrei navigato senza difficoltà. Ho scoperto che non potevo rispondere a una sola domanda, anche se il mio lavoro nell'ingegneria del software comporta un'esposizione regolare a un sacco di matematica.
2 Georges Elencwajg 07/30/2017
@ Mar: sì, questo è esattamente il punto. L'OP ha chiesto argomenti ai quali un matematico was abituato. La domanda se could familiarizzare con un tale soggetto e quanto tempo sarebbe necessario è completamente diversa, e abbastanza correlata con la nozione di essere "brillante".

MCS 07/29/2017.

I miei due centesimi: a meno che tu non abbia un cervello magico, o sia una sorta di genio dell'epoca, probabilmente scoprirai che puoi tenere solo così tanta matematica nella tua mente in un dato momento. Quindi, per motivi pratici - sia per quanto riguarda la stesura di una tesi, sia per quanto riguarda la creazione di una carriera per se stessi - dovresti probabilmente attenersi a una o due aree strettamente correlate, in modo che tu possa avere sufficiente esperienza per rendervi utili ad un istituto di ricerca o qualunque cosa tu voglia fare con il tuo futuro.

Detto questo, ho trovato che il grasso di gomito e l'abilità in matematica sono spesso erroneamente uncorrelated uno con l'altro. Piuttosto, l'abilità dipende spesso più dalla quantità di matematica che si è seen . A tal fine, direi, anche se dovresti assolutamente scegliere un argomento o due per chiamare il tuo, dovresti cercare di mantenere una mente aperta e mantenere un interesse attivo nella più ampia varietà di discipline matematiche possibili.

Trovo spesso che la lettura (anche se solo casualmente) di forme di matematica estranee alle mie aree di ricerca fornisce una ricchezza di nuove idee e intuizioni. Più motivi e fenomeni conosci, più possibilità avrai di notare qualcosa di interessante che si intromette nel tuo lavoro, e questo potrebbe darti un'intuizione che altrimenti non avresti avuto. Per lo meno, ti aiuterà a sapere quali argomenti o fonti (o collaboratori ...) cercare quando ti imbatti in qualcosa al di fuori della tua area di maggiore competenza.

Modifica: un'altra cosa. Linear algebra. Per parafrasare Benedict Gross, non esiste una cosa che conosca troppo l'algebra lineare. È pazzesco everywhere .


paul garrett 07/27/2017.

C'è, ovviamente, una tremenda ambiguità nella domanda. Ma, con qualsiasi interpretazione, la risposta sarebbe generalmente "no, la maggior parte dei praticanti di una parte di X non ricorda tutto X ... perché non ne hanno need ".

Quindi, anche se i ricordi della maggior parte delle persone anche molto intelligenti svaniscono con il tempo, nella mente dei matematici ci sarà solo un leggero residuo delle cose standard di base che stanno lavorando su un particolare tipo di cosa per alcuni anni. A prescindere dall'insegnamento del calcolo, non c'è need di ricordare molto altro. Sì, dal punto di vista della borsa di studio, questo è potenzialmente angosciante, ma, in realtà, in quasi tutte le situazioni di matematica professionale, c'è scarsa motivazione / ricompensa per una vera borsa di studio. In qualche modo non si adatta a formule di aumento di stipendio, possesso o altro. (Non che io mi interessi se cerco di capire le cose "per pagare", o no ...)

È vero, molti programmi laureati negli Stati Uniti in matematica tentano di generare qualche minima competenza / apprezzamento per gran parte della matematica di base, ma dopo "passare qualificazioni" sembra che la stragrande maggioranza delle persone non trovi molto interesse a perseguire ulteriormente vaste borsa di studio, in linea di principio o per eventuali benefici diretti.

Inoltre, mi diletto con l'immagine semplicistica (quello che penso sia) che "specializzazione" sia come "zoomare con un microscopio", e così via. Certo, questa è una visione del mondo difendibile e una visione del mondo soggetta al saggio, e, certo, con le azioni di qualcuno si può fare una descrizione accurate ... ma penso che non sia accurata della realtà. Nello specifico, non vedo le idee genuine come quasi "localizzate" come un "microscopio zoom digitale" pertinente. Cioè, l'idea che la "matematica" possa essere in ogni modo ragionevole descritta come una cosa fisica, implicando tutta la localizzazione che ciò implica, penso sia selvaggiamente inaccurata. Di nuovo, sì, possiamo make accurato, se non altro per ignoranza o ignoranza-fiat. Ma...


Dennis Jaheruddin 07/29/2017.

La domanda su quanti argomenti di matematica conosce un matematico medio dipende fortemente da due definizioni:

  1. Argomento
  2. Conoscere

Ovviamente dipende anche da altre definizioni (come il matematico) ma in misura minore.

Approccio quantitativo per rispondere a questa domanda

Cerchiamo di definire i livelli degli argomenti nel modo seguente, liberamente basato su wikipedia :

  1. Matematica (1 argomento a questo livello)
  2. Matematica pura / Matematica applicata (2 argomenti in questo livello)
  3. Algebra, ..., Ricerca operativa (13 argomenti a questo livello)
  4. Algebra astratta, algebra booleana, ... (argomenti a questo livello)

Ora, basandomi sull'esperienza personale e un'immagine del matematico medio, posso rispondere a quanto un matematico di questo tipo possa sapere di questo, per ogni livello:

  1. Può superare un corso di laurea su questo argomento
  2. Può superare un corso di laurea su questi argomenti
  3. Può superare un corso di laurea su alcuni di questi argomenti, può superare un corso introduttivo sulla maggior parte di questi argomenti
  4. Può superare un corso di laurea su alcuni di questi argomenti (forse 5 ~ 15%)

Nota che se ti sposti oltre il livello 4, diventi così specifico che potresti non trovare corsi completi su tale argomento. Quindi la mia conclusione:

Sulla base dell'esperienza personale, mi aspetto che un matematico medio abbia una conoscenza decente tra il 5% e il 15% degli argomenti a livello di corso di laurea


Linas 07/29/2017.

Ho trascorso diversi anni in un progetto per leggere i primi 1-2 capitoli di almeno un libro di matematica su ogni scaffale della biblioteca universitaria. Era un tentativo di ottenere un sondaggio imparziale della matematica. E 'stato un bene per me, ma è stato un lusso: la marcia forzata attraverso un programma di dottorato e nel mondo accademico offre poco tempo per un simile comportamento. Eppure è importante: tutti i matematici migliori e più famosi stanno chiaramente impiegando strumenti interdisciplinari nel loro lavoro. E, per me, personalmente, era una sorta di livello: improvvisamente, tutto è più facile.

Specializzarsi in un campo è come sollevare pesi con il solo braccio destro, ignorando il nucleo, la schiena e le gambe: ti lascia sorprendentemente debole e incapace. Quando devi padroneggiare molti diversi stili di astrazione, puoi migliorare all'astrazione, in generale, anche nella specialità scelta. Questa, per me, è stata la grande sorpresa inaspettata.

Per la domanda più quantitativa qui posta: potrei "superare un esame a livello di corso di laurea XYZ?" per un 1 ° anno, 1 ° semestre, forse, probabilmente. Una specie di. Gli esami tendono a porre domande usando frasi e notazioni che sono strettamente allineate con il libro di testo di classe, e questa notazione può variare fortemente da un libro di testo all'altro. Quindi, per questo, sarebbe necessaria la preparazione. Il punto è che tale preparazione diventa più facile.

1 comments
Lehs 07/29/2017
Ci dovrebbero essere molti libri di matematica in una biblioteca universitaria. Non sarei mai in grado di imparare tutti i titoli e certamente non tutte le definizioni in tutti quei libri. Ed è semplicemente impossibile ricordare quel contesto. Ma un matematico professionista è probabilmente in grado di comprendere il contesto di uno qualsiasi dei libri, se lui o lei deve farlo.

R K Sinha 08/07/2017.

C'è una grande mancanza di libri di testo di livello post-laurea in matematica scritti con lo scopo di insegnare il "vero soggetto" il più rapidamente possibile. "Smooth Manifolds by Sinha" è uno di questi libri. Se molti libri di questo tipo fossero disponibili, la borsa di studio in matematica non sarebbe una cosa da ridere.


John Bentin 07/27/2017.

Certamente no. Ad esempio, il grande matematico Grothendieck non conosceva abbastanza bene l'aritmetica per riconoscere l'intero 57 $ come non-primo. I numerosi racconti di questa storia sono accessibili da una ricerca su Internet per i termini chiave; grothendieck prime 57 , cerca grothendieck prime 57 .

5 comments
24 José Carlos Santos 07/27/2017
Questo è un esempio ridicolo! Grothendieck stava pensando ai numeri primi in generale. Semplicemente non potrebbe importare di meno se $ 57 $ sia un numero primo.
19 Georges Elencwajg 07/27/2017
La storia non è inventata: Grothendieck ha fatto quello stupido errore, in uno scambio dopo un discorso, dopo che gli è stato chiesto di essere più concreto da un membro del pubblico. Naturalmente questo non cambia nulla al fatto che Grothendieck è stato uno dei più profondi aritmetici del 20 ° secolo. E infatti 57 looks un po 'primo per qualche motivo psicologico :-). Al contrario, molti matematici pensano che io stia tirando loro la gamba quando dico loro che $ 4999 $ is primo!
1 Dair 07/27/2017
Credo che Terrance Tao abbia anche detto che 27 è stato il primo nel rapporto Colbert, o qualcosa del genere: p (Non che lui non conosca bene i numeri primi, solo un aneddoto divertente) Tuttavia, la domanda migliore è: come faccio a saperlo? E cosa faccio della mia vita?
1 quid 07/27/2017
"Ma Grothendieck deve aver saputo che il 57 non è primo, giusto? Assolutamente no, disse David Mumford della Brown University. "Non pensa concretamente." "Perché certamente lo sapeva, nel senso che avrebbe potuto rispondere alla domanda" 57 è un numero primo? " correttamente, e questo diventa sfocato lì.
1 John R Ramsden 08/02/2017
Se rispondendo alla domanda originaria con quello che sembra l'approccio un po 'insipido di evidenziare inevitabili lacune anche nella più grande conoscenza dei matematici, un esempio migliore di uno sciocco errore aritmetico sarebbe stato quando Grothendieck chiese a un collega di un certo integrale definito che aveva incontrato, e fu sorpreso di sentirsi dire che di solito si chiamava la distribuzione normale.

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